トポロジー、位相という語はよく聞くが、よくわかってなかったりする。
ちゃんと確認してみよう。
位相とは集合に導入されるものらしい。
導入方法はいくつかあるらしい。
集合\(S\)に対して、\(T \subseteq2^{S} \)が次を満たすとき、\(T\)は\(S\)の上の位相を定義するという。
- \(\emptyset\in T, S\in T\)
- \(\forall T'\subseteq T, \bigcup_{s\in T'}{s}\in T\) (\(T'\)は無限で構わない)
- \(\forall s_1,s_2,\ldots,s_n\in T, \bigcap_{i=1}^{n}{s_i}\)
\(S\)に上記のような\(T\)を定めることを、\(S\)に位相を導入する、あるいは\(S\)を位相づけるといい、\(T\)を\(S\)の位相ということもあるらしい。
また、\(T\)に属する各集合を位相\(T\)に関する\(S\)の開集合という。
それでもって\((S,T)\)を位相空間と呼ぶらしい。\(S\)だけをもって位相空間と呼ぶ場合もあるらしい。
集合\(S\)が与えられたときに\(S\)を位相づける方法は様々で、極端な例は
- \(T_0={\emptyset,S}\)
- \(T_1=2^S\)
の2つ。これには名前がついていて、\(T_0\)が密着位相、\(T_1\)が離散位相というらしい。
ここまで見ても、トポロジーと聞いて感じる雰囲気を感じ取ることはできないが、どうにも日本でのトポロジーは幾何学図形の位相的性質を研究する分野を指していることが多いらしく、実際の位相数学とやらとはずれるらしい。
位相数学は
という風に大別されるらしく、思ったよりも大きな分野のようだ。
細かな部分は気が向いたらまた見てみよう。
