1フロアの高さ
正面にビル、目の前にはF1が見える。
1フロアの高さを目測することができるだろう。
上を見上げるとF2,F3,...と続く。
上に向かうにしたがって、見た目の高さは低くなる。短くなるといったほうが正確だろうか。
この見た目上の高さが半分になった時、その仰角はどれくらいだろうか。
一応計算結果が出たには出たのでわかりやすい形にアウトプットする。
見た目の大きさと視野角
見た目の大きさは視野角によって記述できるのだとか。
同じ大きさでも近ければ視野角が広くなり、遠ければ視野角が狭くとも問題なくなる。
大きいものには広い視野角が必要となり、小さい物にはそれほど視野角を必要としない。
視野角と仰角
今回の問題は高さを見ている。
視野角は仰角からいかほど離れているかで考えることができよう。
仰角により距離が変わるため、必要な視野角は仰角に影響を受ける。
仰角を\(\theta\)、視野角を\(\gamma\)と置いてみる。
視界に入るのは\(\theta-\gamma\)から\(\theta+\gamma\)の範囲である。*1
図の赤い範囲が実際のビルの高さである。
見た目の大きさは視野角\(\gamma\)のみからしか影響を受けないが、実際の赤い範囲の大きさは仰角\(\theta\)の影響も受ける。
この赤い範囲の大きさを\(h(\theta,\gamma)\)と表すことにしよう。
この大きさは仰角\(\theta+\gamma\)の直角三角形の高さ\(\alpha\)から仰角\(\theta-\gamma\)の直角三角形の高さ\(\beta\)を引けばよい。
ビルまでの距離を\(L\)としよう。
\(\alpha = L\cdot \tan(\theta+\gamma) = L\cdot \frac{\tan\theta+\tan\gamma}{1-\tan\theta\tan\gamma}\)
\(\beta = L\cdot \tan(\theta-\gamma) = L\cdot \frac{\tan\theta-\tan\gamma}{1+\tan\theta\tan\gamma}\)
\(\begin{eqnarray} h(\theta,\gamma)
&=& \alpha-\beta = L\cdot \frac{\tan\theta+\tan\gamma}{1-\tan\theta\tan\gamma} - L\cdot \frac{\tan\theta-\tan\gamma}{1+\tan\theta\tan\gamma}\\
&=& L \cdot \left( \frac{(\tan\theta+\tan\gamma)(1+\tan\theta\tan\gamma)}{(1-\tan\theta\tan\gamma)(1+\tan\theta\tan\gamma)}
- \frac{(\tan\theta-\tan\gamma)(1-\tan\theta\tan\gamma)}{(1+\tan\theta\tan\gamma)(1-\tan\theta\tan\gamma)} \right)\\
&=& L \cdot \frac{(\tan\theta+\tan\gamma)(1+\tan\theta\tan\gamma)-(\tan\theta-\tan\gamma)(1-\tan\theta\tan\gamma)}{(1-\tan\theta\tan\gamma)(1+\tan\theta\tan\gamma)}\\
&=& L \cdot \frac{(\tan\theta+\tan\gamma)+(\tan\theta+\tan\gamma)\tan\theta\tan\gamma-(\tan\theta-\tan\gamma)+(\tan\theta-\tan\gamma)\tan\theta\tan\gamma}{1-\tan^2\theta\tan^2\gamma}\\
&=& L \cdot \frac{2\tan\gamma+2\tan^2\theta\tan\gamma}{1-\tan^2\theta\tan^2\gamma}\\
&=& 2L \cdot \frac{\tan\gamma(1+\tan^2\theta)}{1-\tan^2\theta\tan^2\gamma}.\end{eqnarray}\)
高さについての方程式
F1の床から天井までの高さを、仰角\(0^\circ\)、視野角\(2\gamma\)で表される高さに存在するとしよう。
F1の実際の高さは\(h(0,2\gamma)\)である。
\(\begin{eqnarray} h(0,2\gamma)
&=& 2L \cdot \frac{\tan 2\gamma(1+\tan^2 0)}{1-\tan^2 0\tan^2 2\gamma}\\
&=& 2L \cdot \tan 2\gamma\\
&=& 2L \cdot \frac{2\tan\gamma}{1-\tan^2\gamma}.\end{eqnarray}\)
仰角\(\theta\)のときに見た目上の大きさが、F1の半分になるとしよう(ただし\(0^\circ<\theta <90^\circ\)である)。
このとき、実際の高さは\(h(\theta,\gamma)=2L \cdot \frac{\tan\gamma(1+\tan^2\theta)}{1-\tan^2\theta\tan^2\gamma}\)である。
ここで大事なのは、「F1の実際の高さ」と「仰角\(\theta\)の時の実際の高さ」は、どちらも1フロアの高さ(のはず)であるので、その値は等しくなる、ということである。
つまり、\(h(0,2\gamma)=h(\theta,\gamma)\)である。
\(\begin{eqnarray} h(0,2\gamma) &=& h(\theta,\gamma)\\
2L \cdot \frac{2\tan\gamma}{1-\tan^2\gamma} &=& 2L \cdot \frac{\tan\gamma(1+\tan^2\theta)}{1-\tan^2\theta\tan^2\gamma}\\
\frac{2}{1-\tan^2\gamma} &=& \frac{1+\tan^2\theta}{1-\tan^2\theta\tan^2\gamma}\\
2(1-\tan^2\theta\tan^2\gamma) &=& (1+\tan^2\theta)(1-\tan^2\gamma)\\
2(1-\tan^2\theta\tan^2\gamma) &=& 1 - \tan^2\gamma + \tan^2\theta - \tan^2\theta\tan^2\gamma\\
2(1-\tan^2\theta\tan^2\gamma) &=& (1-\tan^2\theta\tan^2\gamma) - \tan^2\gamma + \tan^2\theta\\
(1-\tan^2\theta\tan^2\gamma) + \tan^2\gamma - \tan^2\theta &=& 0\\
(1 - \tan^2\theta) (1 + \tan^2\gamma) &=& 0\\
\tan^2\theta &=& 1\\
\tan\theta &=& 1\\
\theta &=& 45^\circ.\end{eqnarray}\)
よって、仰角が\(45^\circ\)のときにフロアの高さが半分に見える。
実際には錯覚だのなんだのがあったり、脳による「見た目の大きさは実物より小さいから、実際はもっと大きいだろう」補正により理屈通りに見えるとは限らないが。
F1への仰角が違うなら
F1への仰角は便宜上\(0^\circ\)としたが、実際には方程式を解くだけなので\(0^\circ\)でなくとも構わない。*2
計算は面倒なのでやんない。興味があったら上の\(h(\theta,\gamma)\)を使うとすぐできると思います。
フロアの高さではなくフロアの幅なら
仰角\(\theta\)、視野角\(\gamma\)のときの実際のビル幅を\(w(\theta,\gamma)\)とする。
図が立体になるので図示はしない*3が、視点から注点への距離\(L/{\cos\theta}\)を用いると、
\(w(\theta,\gamma) = \frac{L\cdot \tan\gamma}{\cos\theta}\)
と算出ができる。
あとは上の通りにフロアの幅が一定であることを使えばよい。
