シフトしてみよう
群や体は条件を満たせばすべてそれとみなせるので、
そのような演算子を無理くり作ることもできる。
例えば実数\(\mathbb{R}\)上のある\(a\)に対して、
\(x@y = x+y-a\)
などといった演算子を考えてみよう。
これは、
\((z-a)=(x-a)+(y-a)\)
のように、すべての数を\(-a\)シフトしたものとみなせる。
群になるか
群になるかは結合律を確認し、単位元を探して、それを軸に逆元を見つければいい。
まずは結合律
\((x@y)@z\)
\(= (x+y-a)@z\)
\(= (x+y-a)+z-a\)
\(= x+y+z-2a\)
\(= x+(y+z-a)-a\)
\(= x+(y@z)-a\)
\(= x@(y@z)\)
以上から結合律は大丈夫。
逆元
\(x@x' = a\)
と置いて考えてみると、
\(x+x'-a = a\)
\(x+x' = 2a\)
\(x' = 2a-x\)
となるため、\(x\)に対して、\(2a-x\)が逆元となる。
体にしてみよう
さて、先の演算子\(@\)を足掛かりに、体をなすための積\(*\)を導入しよう。
条件としては、\(\mathbb{R}\setminus\{a\}\)について群をなして、
分配法則が成り立てばいい。
もとはといえばシフト
さて、和\(@\)は数を\(-a\)シフトしたものだった。
じゃあ、積\(*\)もそのように考えてみよう。
\((z-a)=(x-a)(y-a)\)と置いて計算すると、
\(z = xy - ax - ay +a^2 +a)\)
\(= xy - a(x + y - a) +a)\)
となる。
\(x*y = xy -a(x+y-a) + a\)と定義しよう。
先行きが怪しくなってきたが大丈夫だろうか。
分配法則
分配法則を確認してみよう。
\( (x@y)*z = (x@y)z - a(x@y+z-a)+a\)
\(= (x+y-a)z - a(x+y-a+z-a)+a\)
\(= zx+yz-az - ax -ay - az - 2a^2 + a\)
\(= (zx-ax-az-a^2+a) + (yz-ay-az-a^2)\)
\(= (zx-ax-az-a^2+a) + (yz-ay-az-a^2+a) - a\)
\(= (zx - a(x+z-a) + a)+(yz - a(y+z-a) + a) - a\)
\(= (zx - a(x+z-a) + a)@(yz - a(y+z-a) + a)\)
\(= (x*z)@(y*z)\)
どうやら大丈夫みたいだ。
逆側は、定義の対称性から大丈夫だろう。*1
単位元
あとは、\((\mathbb{R}\setminus\{a\},*)\)が群をなすかを確認する。
\(x*e=x\)と置いて、単位元を求めてみる。
\(x*e = xe -a(x+e-a) + a = x\)
\(xe -ax-ae+a^2 + a = x\)
\(e(x-a)= x+ax-a-a^2=x(1+a)-a(1+a)=(1+a)(x-a)\)
\(x\in (\mathbb{R}\setminus\{a\})\)より、\(x-a=0\)ではないので、
\(e= 1+a\)
なんともきれいなものが出てきた。
逆元
同様に、
\(x*x'=1+a\)と置いて、逆元を求めてみる。
\(x*x'=xx'-a(x+x'-a)+a = 1+a\)
\(xx'-ax-ax'+a^2+a = 1+a\)
\(x'(x-a)= 1+a+ax-a-a^2=1+ax-a^2 = 1+a(x-a)\)
\(x-a=0\)ではないので、
\(x' = \cfrac{1}{x-a}+a\)
なんとも言えないものが出てきたが、これで積\(*\)が群をなすことが分かった。
