群と体

群と体

群や体といった概念は、大まかに足し算や掛け算を一般化した概念である。
面白い群を見かけたのでその記事を書こうと思ったら能書きが長くなってしまった。
定義を切り分けて、記事にしておく。

群

ある集合\(S\)に対して、\(S\)について閉じた関数\(\circ : S \times S \rightarrow S\)が定義されているとする。
(\(S\)の要素\(x,y,z\)に対して、\(\circ(x,y)=z\)を\(x\circ y=z\)とかく。)
これが

1. 結合律: \(\forall x,y,z \in S, (x \circ y ) \circ z = x \circ (y\circ z)\)
2. 単位元の存在: \(\exists e \in S, \forall x \in S, e\circ x = x\circ e = x\)
3. 逆元の存在: \(\forall x \in S, \exists x' \in S, x\circ x' = x'\circ x = e\)

を満たすとき、\((S,\circ)\)が群をなすという。
iiの\(e\)を単位元といい、iiiの\(e\)は単位元を指している。
また、iiiの\(x\)に対する\(x'\)を\(x\)の逆元といい、\(x^{-1}\)で表すことが多い。
さらに、群\((S,\circ)\)が
iv. 交換律\(\forall x,y\in S, x\circ y=y\circ x\)
を満たすとき、\((S,\circ)\)を可換群(またはアーベル群)という。
これらは、足し算や、掛け算を一般化したものとして考えられる。
足し算なら、単位元は\(0\)、逆元は\(-x\)となり、
掛け算なら、単位元は\(1\)、逆元は\(1/x\)である。
ただし、掛け算を群としてとらえたい場合は、\(0\)を省く必要がある。
\(0\)の逆元が存在しないからだ。

体

そんなこんなで、ある集合\(S\)に、2つの関数\(+,\times\)を用意する。
先ほどと同様に、2つは\(S\)について閉じている。
これが、

1. \((S,+)\)が可換群をなす
2. \(+\)の単位元\(0\)に対して、\(S\setminus\{0\},\times)\)が群をなす
3. \(\forall x,y,z\in S, (x+y)\times z = (x\times z) + (y\times z)\)
4. \(\forall x,y,z\in S, x\times (y+z) = (x\times y) + (x\times z)\)

を満たすとき、\((S,+,\times)\)を体という。
iiの条件を可換群とすれば、\((S,+,\times)\)は可換体であるといわれる。
要は、積について交換律が成り立つかといったことであるので、先と同じように条件を加えるだけでも良い。
iii,ivは分配法則と呼ばれるものである。馴染みが深い人も多いだろう。
例えば\((\mathbb{R},+,\times)\)は体をなす。というより、これを一般化したものが体というほうが正しい。